Por Resueltoos.com • 18-11-2023 • Matematicas
La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números naturales infinita que comienza con los números 0 y 1, y cada término siguiente es la suma de los dos términos anteriores. Es decir, el tercer término es 1 (= 0 + 1), el cuarto término es 2 (= 1 + 1), el quinto término es 3 (= 1 + 2), el sexto término es 5 (= 2 + 3), y así sucesivamente. Por lo tanto, los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040 ...
La sucesión de Fibonacci fue descubierta por el matemático italiano Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, en su libro Liber Abaci en 1202. Fibonacci se encontraba estudiando las poblaciones de conejos y se dio cuenta de que el número de parejas de conejos que se pueden obtener en un año a partir de una pareja recién nacida sigue una secuencia similar a la sucesión. La sucesión ha sido estudiada por muchos matemáticos a lo largo de los siglos, pero uno de los matemáticos más destacados que se ha interesado por la sucesión de Fibonacci es el matemático francés Édouard Lucas, quien también fue un pionero en el estudio de la teoría de números. Lucas descubrió muchas propiedades interesantes de la sucesión, incluyendo la relación de la sucesión con el número áureo y la identidad de Lucas, que es una generalización de la fórmula de Binet para la sucesión de Fibonacci.
La sucesión de Fibonacci es una progresión aritmética definida recursivamente, siendo el término n-ésimo F(n): F(n) = F(n-1) + F(n-2) para n > 1, teniendo en cuenta que F(0) = 0 y F(1) = 1.
Esta definición dice que el primer término de la sucesión es 0, el segundo término es 1 y cada término siguiente se calcula como la suma de los dos términos anteriores. La definición recurrente de la sucesión es simple pero poderosa, y da lugar a muchas propiedades matemáticas interesantes, siendo que entre las más básicas destacan la suma y la divisibilidad. Cualquier número de la sucesión de Fibonacci es divisible por el número 1, y cualquier número de la sucesión que es mayor que 2 es divisible por algún número primo que también pertenece a la sucesión. Esto significa que los números de la sucesión de Fibonacci tienen una estructura de divisibilidad única y fascinante. Por otro lado, la suma de los primeros n términos de la sucesión de Fibonacci se puede calcular utilizando una fórmula conocida como la fórmula de Cassini. Esta fórmula establece que la suma de los primeros n términos de la sucesión es igual al término n+2 menos 1.
Además de la definición recurrente que hemos visto anteriormente, existen otras representaciones de la sucesión de Fibonacci que pueden ser útiles en diferentes situaciones. En primer lugar, la sucesión de Fibonacci aparece en el triángulo de Pascal, que es una disposición triangular construida de la siguiente manera: el primer y último elemento de cada fila es 1, y los elementos restantes se calculan como la suma de los dos elementos inmediatamente superiores de la fila anterior. Los números en la diagonal que va de izquierda a derecha a través del triángulo de Pascal son precisamente los términos de la sucesión de Fibonacci. Por otro lado, la representación matricial de la sucesión de Fibonacci consiste en considerar una matriz de 2x2, que se conoce como la matriz de Fibonacci, y está definida como sigue: M=[1 1] [1 0]
Así, el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci se puede calcular como el elemento (1,2) de la matriz de Fibonacci elevada a la n-ésima potencia (matriz enésima): F(n) = [M^n]_(1,2)
Esta representación matricial de la sucesión de Fibonacci es útil en la teoría de matrices y puede ser utilizada para calcular términos de la sucesión de Fibonacci de manera eficiente.
La forma de Binet es una fórmula que permite calcular cualquier término de la sucesión de Fibonacci de manera directa, sin necesidad de calcular los términos anteriores. Esta fórmula es muy eficiente para calcular términos grandes de la sucesión de Fibonacci, ya que es más eficiente que la definición recursiva, pero puede perder precisión para valores muy grandes debido a la naturaleza de los números irracionales involucrados. Esta fórmula se debe al matemático francés Jacques Philippe Marie Binet, y se expresa de la siguiente manera: F(n) = [φ^n - (1-φ)^n]/√5
Donde φ es el número áureo, igual a (1+√5)/2, y (1-φ) es igual a -1/φ. Además, esta fórmula también tiene otras propiedades interesantes relacionadas con la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, si se eleva el número áureo al cuadrado, se obtiene que φ^2 = φ + 1. A partir de esta igualdad, se puede deducir que: φ^n = F(n) * φ + F(n-1)
Esta igualdad se conoce como la identidad de Cassini, y permite calcular cualquier potencia de φ en términos de los términos de la sucesión de Fibonacci. También se puede utilizar para calcular directamente cualquier término de la sucesión de Fibonacci. Otra propiedad interesante relacionada con la forma de Binet es que se puede utilizar para demostrar que la sucesión de Fibonacci crece exponencialmente. En particular, se puede demostrar que: Fn ~ (φ^n)/√5
Esto significa que el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci crece exponencialmente con una tasa de crecimiento proporcional al número áureo elevado a la potencia n.
A lo largo del tiempo se han desarrollado varias extensiones y generalizaciones de la sucesión de Fibonacci que amplían su alcance y aplicaciones:
Sucesión de Lucas: es una generalización de la sucesión de Fibonacci en la que los dos primeros términos son 2 y 1 en lugar de 0 y 1. De esta manera, los siguientes términos se calculan sumando los dos términos anteriores. Esta secuencia tiene propiedades similares a la sucesión de Fibonacci y también se encuentra en la naturaleza.
Números de Fibonacci negativos: Al igual que la sucesión de Fibonacci se define para números enteros no negativos, también se puede definir para enteros negativos. En este caso, los términos de la sucesión se calculan sumando los dos términos anteriores, pero con signos alternantes.
Sucesiones de Fibonacci en otros sistemas numéricos: también se puede generalizar para otros sistemas numéricos, como números complejos, números racionales y números algebraicos.
Sucesión de Pell: es similar a la sucesión de Fibonacci, pero en lugar de comenzar con 0 y 1, comienza con 0 y 2. Los siguientes términos se calculan sumando dos veces el término anterior y el término antes de ese.
Sucesiones de Fibonacci generalizadas: son secuencias en las que los términos se calculan sumando una combinación lineal de los términos anteriores, en lugar de simplemente la suma de los dos últimos.
A continuación, se presentan algunas de las aplicaciones más destacadas de la sucesión:
Proporción áurea: La relación entre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci se aproxima cada vez más al número áureo a medida que se avanza en la secuencia. Esta propiedad es conocida como la propiedad de la proporción áurea y se utiliza en numerosas aplicaciones en matemáticas, ciencias y arte.
Espirales: La sucesión de Fibonacci también se encuentra en la forma en que se disponen las espirales en muchas plantas y animales. Estas espirales se conocen como espirales de Fibonacci, y se forman cuando cada espiral gira un ángulo de 137.5 grados con respecto a la anterior
Propiedades geométricas: La sucesión de Fibonacci tiene numerosas aplicaciones en geometría y otras ramas de la matemática aplicada. Por ejemplo, los números de la sucesión de Fibonacci se utilizan en la construcción de fractales y en el diseño de espirales logarítmicas. También se pueden utilizar para calcular áreas y perímetros de figuras geométricas.
Diseño y arte: La sucesión de Fibonacci se utiliza en el diseño y el arte debido a su relación con la proporción, la belleza, la elegancia y la armonía. Destaca, por ejemplo, el uso que hizo Leonardo Da Vinci de esta relación en la Mona Lisa. Además, se puede utilizar en la disposición de elementos en un diseño gráfico o en la composición musical y en la creación de ritmos.
Análisis técnico de la bolsa y criptomonedas: el análisis técnico de la bolsa tiene un apartado en el que se dedica a predecir los niveles de soporte y resistencia (puntos clave) de los precios de los activos financieros empleando únicamente la sucesión de Fibonacci.
Criptografía: se utiliza en la criptografía para generar secuencias pseudoaleatorias, que se utilizan para encriptar datos y garantizar la seguridad en las transacciones en línea.
Biología: se encuentra en numerosos fenómenos biológicos, como la disposición de las hojas en las plantas, las ramas en los árboles, las espirales en las conchas de caracoles y la distribución de los órganos en los cuerpos de los animales.
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