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Triángulo de Pascal

¿Qué es y cómo se construye el triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal, también conocido como pirámide de Tartaglia o triángulo de Pascal, es una secuencia triangular de números enteros que comienza con un 1 en el vértice superior (cima) y se va ampliando hacia abajo con números calculados a partir de los números de la fila superior. Se trata entonces de un operativa matemática o patrón repetitivo para conseguir números con unas propiedades características.

El método para construir el triángulo de Pascal es sencillo y se puede esquematizar en varios pasos:, se escribe un uno (1) en la primera fila del triángulo. Se escriben dos unos (1 1) en la segunda fila, uno a cada lado del uno (1) en el centro. Para cada fila por debajo se escribe un uno (1) al principio y al final de la fila, y los números en el medio de cada fila se calculan sumando los dos números inmediatamente superiores, que están en la fila anterior.

Por ejemplo, para construir las primeras cinco filas del Triángulo de Pascal:

Primer fila: 1

Segunda fila: 1 1

Tercera fila: 1 2 1, el 2 por ser 1+1 de la fila anterior.

Cuarta fila: 1 3 3 1, el primer 3 porque es 1+2 de a fila anterior, y el segundo 3 porque es 2+1 de la fila anterior. 

Quinta fila: 1 4 6 4 1, el primer 4 por ser 1+3, el 6 por ser 3+3 y el segundo 4 por ser 3+1.

¿Cuál es la diferencia entre el triángulo de Tartaglia y el triángulo de Pascal?

El triángulo de Tartaglia y el triángulo de Pascal son dos nombres que se refieren al mismo objeto matemático, el conjunto de números enteros ordenados triangularmente de forma que cada número se obtenga sumando los dos números inmediatamente superiores. 

Aunque ambos nombres se refieren a lo mismo, dependiente del contexto se prefiere uno u otro: "triángulo de Tartaglia" se utiliza principalmente en el campo de las ecuaciones polinómicas y las matemáticas elementales, mientras que "triángulo de Pascal" se utiliza más comúnmente en el contexto de la teoría de la probabilidad, la combinatoria y las matemáticas avanzadas. 

¿Quién descubrió el triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal fue descubierto por el matemático y filósofo francés Blaise Pascal en el siglo XVII, aunque ya era conocido y utilizado por matemáticos chinos, persas e islámicos varios siglos antes. Recibe su nombre porque Pascal fue el primero en publicar una descripción detallada y en explorar sus propiedades matemáticas.

Pascal descubrió el triángulo mientras trabajaba en la teoría de probabilidades y la combinatoria, notando que los coeficientes binomiales se podían calcular fácilmente utilizando los números en el triángulo.

El otro nombre que se ha dado, pirámide o triángulo de Tartaglia, es debido al matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia, conocido por haber descubierto algunas de las propiedades del triángulo en el siglo XVI (previo a Pascal). La principal de dichas propiedades fue el cálculo de raíces cúbicas de ecuaciones polinómicas.

Por último, también destacan en la historia del triángulo de Pascal otros matemáticos como Yang Hui, Al-Karaji y Omar Khayyam.

¿Qué propiedades tiene el triángulo de Pascal?

Las dos principales propiedades del triángulo son:

Simetría: el triángulo de Pascal es simétrico en relación con el eje vertical que pasa por el centro, siendo simétrico a izquierda y derecha.

Suma de filas: la suma de los elementos de cualquier fila del triángulo es igual al doble de la suma de los elementos de la fila anterior. Por ejemplo, la suma de los elementos de la tercera fila es 1 + 2 + 1 = 4, y la suma de los elementos de la cuarta fila es 1 + 3 + 3 + 1 = 8. 

¿Para qué sirve el triángulo de Pascal?

Entre las principales aplicaciones se encuentran:

Cálculo de coeficientes binomiales y trinomiales: los coeficientes binomiales representan los coeficientes en el desarrollo de un binomio elevado a una potencia, utilizándose probabilidad y combinatoria para contar el número de formas en que se pueden seleccionar un subconjunto de objetos de un conjunto más grande. 

Desarrollo de polinomios: se utiliza para desarrollar polinomios a partir de binomios elevados a una potencia, pues los coeficientes en este desarrollo se pueden leer directamente en el triángulo. En especial, se emplearon para obtener el desarrollo de polinomios bicuadrados.

Propiedades matemáticas: El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades matemáticas interesantes, como la relación con los números de Fibonacci (los elementos de la diagonal que va desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha corresponden a los números de Fibonacci) o la relación con el número , que puede leerse directamente como una serie alternada de los inversos de los números del triángulo marcados en verde:

Propiedades en álgebra: también exhibe varias propiedades aritméticas y algebraicas interesantes, como la simetría y las relaciones entre filas y columnas, que se pueden utilizar para demostrar teoremas importantes en la teoría sobre polinomios.

Geometría y fractales: tiene conexiones con la geometría y los fractales. En particular, se puede utilizar para construir fractales como el triángulo de Sierpinski y el triángulo de Pascal en tres dimensiones.

¿Cómo se aplica el triángulo de Pascal a las identidades notables?

El triángulo de Pascal también es útil para demostrar y aplicar las identidades notables, que son fórmulas algebraicas que se usan con frecuencia en la factorización de polinomios y en la resolución de ecuaciones. Para ello, se utilizan las filas correspondientes al exponente de las variables en el polinomio más uno, es decir, para demostrar una identidad notable de la forma (a + b)^n, se utiliza la fila n+1 del Triángulo de Pascal, que corresponde al exponente n.

Por ejemplo, si se quiere demostrar la identidad (a + b)² = a² + 2ab + b², se utiliza la tercera fila del triángulo, que corresponde al exponente 2. Como esta fila es 1 2 1, los coeficientes de la expansión de (a + b)² son 1, 2 y 1. Entonces, se puede escribir:

(a + b)² = (1a² + 2ab + 1b²) = a² + 2ab + b²

De manera similar, si se quiere demostrar la identidad (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³, se utiliza la cuarta fila del triángulo de Pascal, que corresponde al exponente 3. Esta fila es 1 3 3 1, lo que significa que los coeficientes de la expansión de (a + b)^3 son 1, 3, 3 y 1. Entonces, se puede escribir:

(a + b)³ = (1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

¿Cómo se aplica el triángulo de Pascal al binomio de Newton?

La generalización de las identidades notables es el binomio de Newton, luego se puede utilizar el triángulo de Pascal para encontrar los coeficientes binomiales en el desarrollo del binomio de Newton. En la fórmula del binomio de Newton a los coeficientes C(n,k) se les llama coeficientes binomiales, y se encuentran en la fila n+1 y la columna k+1 del triángulo. Así, el binomio se expresa matemáticamente como:

(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n 

El triángulo de Pascal permite obtener de manera directa todos los coeficientes y es muy útil si n es pequeño: se selecciona una fila n+1 en el triángulo de Pascal que corresponde al exponente n en la fórmula del binomio. Por ejemplo, si se quiere encontrar el desarrollo de (a + b)^4 utilizando el binomio de Newton, se selecciona la fila 5 del triángulo de Pascal, que es 1 4 6 4 1. Entonces, la fórmula se convierte en:

(a + b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴

¿Cómo se aplica el triángulo de Pascal a otras ciencias?

El triángulo tiene muchas aplicaciones en varias áreas de la ciencia, siendo algunas de las más comunes:

Física: se utiliza calcular la probabilidad de que se produzcan ciertos eventos en una serie de experimentos, además de para calcular las fuerzas resultantes de la combinación de vectores.

Computación: se utiliza en la teoría de la información para calcular la cantidad de información que se puede almacenar en un sistema.

Biología: se utiliza para modelar la genética y la evolución, además de en la teoría de la evolución para calcular las probabilidades de que ciertas características se desarrollen en una población.

Economía: se utiliza en la economía para modelar las decisiones económicas y las probabilidades de éxito o fracaso en ciertas empresas.

¿Cómo se aplica el triángulo de Pascal a la geometría?

Algunas de las aplicaciones más comunes son:

Cálculo de áreas y volúmenes: se puede utilizar para poliedros complejos, utilizando las filas correspondientes a las dimensiones del poliedro. 

Problemas de ordenación: se puede utilizar para calcular el número de formas diferentes en que se pueden organizar un conjunto de objetos en una forma geométrica específica.

Números triangulares y tetraédricos: estos números cuentan la cantidad de objetos dispuestos en un triángulo equilátero o en un tetraedro, en función de sus dimensiones, y estos vienen dados en la tercera diagonal (amarillo, números triangulares) y en la cuarta (azul, números tetraédricos).

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