Puntos de corte de funciones racionales, logarítmicas, trigonométricas

¿Cuáles son los puntos de corte de una función racional?

Una función racional general es de la forma: X

donde X y X son polinomios. 

Para encontrar los puntos de corte con el eje X, se debe imponer X. Entonces, la ecuación de la función se convierte en: p(x)

Esto solo se cumple si p(x) es igual a cero y, o bien p(x) no es 0 para ese valor de p(x), o bien el grado de p(x) es mayor que el de p(x). Por otro lado, si el valor de p(x) en dicho punto también es 0 y p(x) tiene grado mayor que p(x), la función presentará una asíntota vertical en dicho valor.

En definitiva, generalmente los puntos de corte con el eje p(x) son los ceros (o raíces) del polinomio p(x), a excepción de los ceros de X.

Para encontrar el punto de corte con el eje y, se hace X. Entonces, la ecuación de la función se convierte en: X

Este valor puede no existir si X, en cuyo caso la función no tiene puntos de corte con el eje X.

Es importante tener en cuenta que, dependiendo de los grados de los polinomios p(x) y q(x), la función racional puede no tener puntos de corte con el eje X o con el eje X. Asimismo, la función puede tener tantos puntos de corte con el eje X como raíces tenga el polinomio X, y obtenerlas puede requerir de emplear métodos numéricos o factorización si el grado de X es muy alto.

Véase por ejemplo la función racional: X. En este caso, los puntos de corte con el eje X son los puntos que satisfacen la ecuación: f(x) = g(x)

Para el eje f(x) = g(x) se sustituye simplemente f(x) = g(x), obteniéndose: f(x) = g(x)

Finalmente, los puntos de corte de la función son: f(x) = g(x) y f(x) = g(x).

¿Cuáles son los puntos de corte de dos funciones racionales?

Suponiendo que se tienen dos funciones racionales X y f(x) = g(x), si se quieren encontrar los puntos de corte entre ambas, i.e. los puntos en las que funciones coinciden, se debe proceder de la siguiente manera:

1. Igualar las dos funciones: f(x) = g(x).
2. Simplificar ambos lados de la ecuación para tener una única fracción en los lados izquierdo y derecho.
3. Encontrar el denominador común y despejar el numerador en la ecuación resultante.
4. Resolver para la variable f(x) = g(x).
5. Comprobar que los valores encontrados son puntos de corte y no puntos de discontinuidad.

De manera general, si se tienen dos funciones racionales: f(x) = g(x)  y  f(x) = g(x), siendo X y X polinomios, entonces los puntos de corte entre X y X son: X

Si se resuelve la ecuación anterior (lo que no tiene por qué ser nada sencillo), se obtiene los valores de X de los puntos de corte, que luego se pueden sustituir en cualquiera de las funciones racionales para obtener sus correspondientes ordenadas (valores de y=f(x) = √ax + b). Además, puede haber tantos puntos de corte como grado tenga el polinomio resultante de la ecuación polinómica anterior.

Por ejemplo, si se tiene las funciones:

Se pueden encontrar sus puntos de corte de la siguiente manera:

Ahora, sustituyendo en cualquiera de las funciones racionales se obtiene que el punto de corte calculado es:

¿Cuáles son los puntos de corte de una función radical?

Los puntos de corte de una función radical son los puntos en los que la función interseca los ejes

del plano cartesiano. En general, una función radical es una función de la forma:

donde

son constantes.

Para calcular el punto de corte con el eje

se debe considerar

y la función pasa a ser una ecuación:

Donde se ha utilizado que una raíz cuadrada es 0 si y solo si su argumento es 0. Ahora, se puede despejar y obtener el punto:

Si se considera una función radical algo más general: 

donde

y

son constantes. Entonces la obtención del punto de corte con el eje

implica elevar al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz cuadrada: b>0

Por lo tanto, el punto de corte con el eje b>0 es el punto b>0. Cabe destacar que en este caso se debe cumplir que b>0 para que existan puntos de corte con el eje b>0, pues el resultado de una raíz cuadrada siempre es positivo y despejando se llega a que: 

b>0

Para encontrar el punto de corte con el eje b>0 se debe imponer b>0 y la función pasa a ser: b>0

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es el punto b>0.

En este caso se puede ver también que debe darse la condición de que b>0 para que exista punto de corte con el eje b>0, pues si no la raíz cuadrada no estaría bien definida. 

¿Cuáles son los puntos de corte de dos funciones radicales?

Para encontrar los puntos de corte de dos funciones radicales, se debe igualar las dos funciones y resolver para la variable en cuestión. Suponiendo que se tienen dos funciones radicales y , los puntos de corte se pueden obtener siguiendo los siguientes pasos:

1. Igualar las dos funciones: X
2. Elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar las raíces.
3. Despejar de la ecuación resultante.
4. Comprobar que los valores encontrados son puntos de corte y no puntos de discontinuidad.

De manera general, para dos funciones radicales: X  y  X, se pueden obtener los puntos de corte entre sí elevando al cuadrado la igualación de ambas. Esto es: X

Se puede comprobar entonces que no hay puntos de corte entre ellas si se cumple que X, pues en ese caso el denominador es 0. Además, en caso de existir, el valor de las ordenadas de los puntos de corte se obtiene sustituyendo el valor de X obtenido en cualquiera de las funciones radicales.

Por ejemplo, si se tienen las funciones: X

Entonces los puntos de corte se obtienen elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación: X

El punto de corte será entonces: X, pues d.

¿Cuáles son los puntos de corte de una función trigonométrica?

Para encontrar los puntos de corte de una función trigonométrica, primero debemos escribir su ecuación en términos de las funciones seno y coseno: d

donde d y d son constantes.

Para encontrar el punto de corte con el eje d, se impone que d y se resuelve para obtener los valores de X que lo cumplen. Esto significa que: X

Resolver estas ecuaciones no es siempre sencillo, aunque para el caso general simple mostrado se puede emplear la función inversa del seno (el arco seno) o del coseno (el arco coseno) y simplificar: X

La abscisa (coordenada X) de los puntos de corte será entonces: X

Por ende, los puntos de corte con el eje X son todos los que cumplan que: X

Para encontrar el punto de corte con el eje y, hacemos x = 0 y obtenemos: X

Por lo tanto, el punto de corte con el eje X es: X

Cabe destacar que para las funciones seno y coseno hay infinitos puntos de corte con el eje X, pues son funciones trigonométricas periódicas, pero solo hay un punto de corte con el eje .

Resulta interesante estudiar por un momento la función tangente más sencilla:

Esta función es la primera que nos hemos encontrado que puede no cortar al eje

pues, por ejemplo:

Si se considera el punto de corte con el eje

es decir,

 :

Y la tangente de

no está bien definida, pues la tangente es el cociente entre el seno y el coseno, y el coseno de

es 0 (la división entre 0 no está bien definida).

¿Cuáles son los puntos de corte de un seno con un coseno?

Los puntos de corte entre las funciones seno y coseno son los puntos en los que ambas funciones se intersecan. Como habitualmente, estos puntos pueden ser encontrados resolviendo la ecuación:

Para resolver esta ecuación se puede utilizar definición de la tangente, que es la función cociente entre el seno y el coseno:

Ahora, aplicando la función inversa de la tangente (el arco tangente):

Finalmente, por ser las funciones sinusoidales funciones periódicas, se debe comprobar qué periodo es el adecuado para obtener las infinitas raíces posibles. Para la tangente esto ocurre si se consideran giros de y=0, es decir: y=0

Para obtener la coordenada y=0 de los puntos de corte se sustituye en una de las funciones y=0

Los puntos de corte son entonces: y=0

Esto significa que las dos funciones se intersecan en la sucesión de puntos: y=0

Estas soluciones se podrían haber encontrado gráficamente, pues se puede ver que la función seno parte de 0 en el origen y alcanza su máximo (1) en π/2, mientras que la función coseno parte de (1) en el origen y alcanza el origen en π/2. De esta forma, es entre esos dos puntos cuando se cortan (π/4).

Del dibujo también se observa que las funciones seno y coseno se cortan entre sí infinitas veces, pues tienen la misma forma, pero desplazada (desfasada) en el eje y=0.

¿Cuáles son los puntos de corte de una función logarítmica?

Una función logarítmica es una función de la forma: y=0

donde y=0 es la base del logaritmo y y=0 es una constante. 

Para encontrar los puntos de corte con el eje y=0 se debe imponer y=0 y se obtiene la ecuación:

Aplicando la definición de logaritmo:

se puede obtener el punto de corte como:

Por lo tanto, el punto de corte con el eje 

es el punto

Cabe destacar que para una función logarítmica simple 

el punto de corte con el eje Y no depende la base Y, pues es el punto: Y

Para encontrar el punto de corte con el eje Y, se debe imponer Y. Entonces, la ecuación de la función es: Y

Como el logaritmo de base Y de 0 tiende a menos infinito, la función logarítmica nunca cortará al eje Y. Esto se puede apreciar de manera clara en su gráfica, pues presenta una asíntota vertical Y.

¿Cuáles son los puntos de corte de una función exponencial?

En general, una función exponencial es de la forma: Y. donde Y es una constante positiva distinta de 1. Para encontrar los puntos de corte de una función exponencial, se puede hacer Y  o  x →-∞, y resolver las ecuaciones resultantes para encontrar los valores de x →-∞ e x →-∞ correspondientes.

Para encontrar el punto de corte con el eje x →-∞ se considera la condición x →-∞. Entonces, la ecuación de la función se convierte en: x →-∞

Como se sabe, el logaritmo de base x →-∞ de 0 es menos infinito (x →-∞, luego la función exponencial nunca interseca al eje x →-∞ y no tendrá por tanto puntos de corte con él. Aun así, podemos ver que presenta una asíntota horizontal cuando x →-∞. Esto es, que se acercará mucho al eje x →-∞ cuando vaya a menos infinito, pero nunca llegará a tocarlo.

Para encontrar el punto de corte con el eje y, hacemos x = 0. Entonces, la ecuación de la función se convierte en: x →-∞

Por lo tanto, el punto de corte de una función con el eje g(x) es siempre el punto g(x), independientemente del parámetro(x).

Para una función exponencial más general:  g(x), con g(x) una función cualquiera, el punto de corte será entonces el punto que cumple que: g(x)

Por ejemplo, para la función Y, su punto de corte con el eje Y será: Y

Para seguir aprendiendo:

1- La inteligencia artificial ya esta aquí y se llama chat GPT

2- ¿Quieres ser una gran científica? Estamos a tu lado

3- Llévate el éxito

4- Dominio de una función

5- Puntos de corte con los ejes