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¿Qué es la derivabilidad de una función?

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¿Qué es la derivabilidad de una función?

La derivabilidad de una función es una propiedad fundamental que describe la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico de su dominio. Así, la derivabilidad muestra cómo una función se inclina o curva en un punto determinado. Una función f(x) se considera derivable en un punto “a” si se cumplen las siguientes condiciones:

La función está definida en “a”.

La función es continua en “a”. La continuidad asegura que el valor de la función en x=a coincide con el límite de la función cuando x se acerca “a”.

Tanto el límite que define la derivada cuando x se acerca a “a” por la izquierda como el límite que la define cuando x se acerca a “a” por la derecha existen y son iguales. Matemáticamente, esto se expresa como: f’(a-)=f’(a+)

¿Cuál es la relación entre la derivabilidad y los límites?

La relación entre la derivabilidad y los límites es fundamental, ya que la derivabilidad mide cómo cambia una función en un punto específico de su dominio, y dicha medición se calcula a través de la evaluación de un límite. De esta forma, la derivada de una función f(x) en un punto “a” se denota como f’(a) y se define como el límite: f’(a)=lim h→0 (f(a+h)-f(a))/h

Este límite expresa cómo cambia la función f(x) alrededor del punto “a” cuando el cambio en x(h) tiende a cero. Si este límite existe y es finito, la función es derivable en x=a.

La definición de derivada se expresa en muchas ocasiones haciendo el cambio x=a+h, de forma que la ecuación anterior se reduce a: f’(a)=lim x→a (f(x)-f(a))/(x-a)

Además, en muchas ocasiones la función estudiada presentará problemas de derivabilidad en puntos concretos de su dominio, para lo cual se deberán estudiar los límites en torno a esos puntos, y no se podrá derivar directamente.

¿Cuál es la relación entre la derivabilidad y la continuidad?

La relación entre la derivabilidad y la continuidad es estrecha y fundamental en el análisis matemático. Se debe tener especial cuidado con dichos conceptos: cualquier función derivable es continua, sin embargo, cualquier función continua no tiene por qué ser derivable. En otras palabras, la derivabilidad es una propiedad más fuerte que la continuidad. 

Un ejemplo común de una función continua pero no derivable es la función valor absoluto f(x)=|x|. Esta función es continua en todos los números reales, pero no es derivable en x=0 porque tiene un “pico” en ese punto. 

Por otra parte, la derivabilidad en un punto garantiza la continuidad local alrededor de dicho punto. Esto se debe a que, para ser derivable en un punto, la función debe ser suave y tener un comportamiento no abrupto en dicho punto.

¿Cómo obtener la derivabilidad de una función?

Para determinar la derivabilidad de una función en un punto “a”, puedes seguir los siguientes pasos:

Asegurarse de que la función sea continua en el punto: La derivabilidad requiere que la función sea continua en el punto donde deseas calcular la derivada. Si la función tiene una discontinuidad en ese punto, no será derivable en ese punto.

Aplicar reglas de derivación: Si la función es una función compuesta, algebraica, trigonométrica, exponencial o logarítmica, puedes utilizar las reglas de derivación correspondientes para simplificar el cálculo. Algunas reglas comunes incluyen la regla de la cadena, la regla del producto, la regla del cociente y las derivadas de funciones elementales. 

Aplicar la definición de derivada: En caso de que no fuera posible aplicar estas reglas en el punto estudiado, ya sea por problemas de continuidad o porque la derivada no exista en dicho punto, se deberá aplicar la definición de derivada como el límite cuando x tiende a “a”. Es necesario evaluar el límite por la izquierda y por la derecha del punto “a”, y comprobar que ambos coinciden. Si esto se cumple, es posible calcular la derivada de este punto a través de la definición. Si, por el contrario, los límites por la izquierda y la derecha no coinciden, no será posible obtener la derivada. Para determinar si la función es derivable en todo su dominio, se deben repetir estos pasos para cada punto dentro del dominio. Dado que estudiar la derivabilidad en infinitos puntos es materialmente imposible, para estudiar la derivabilidad en el dominio de una función debemos analizar la continuidad de nuestra función y estudiar los posibles puntos críticos, es decir, aquellos en los que la derivada se anula o es indefinida. Una vez obtenidos dichos puntos, se estudiará la derivabilidad de la función en intervalos según los puntos críticos y las continuidades.

¿Cómo calcular los puntos críticos de una función?

Un punto crítico es aquel en el que la derivada de una función es igual a cero o es indefinida. Dichos puntos pueden indicar máximos, mínimos o puntos de inflexión dentro de la función. Para calcular los puntos críticos de una función f(x), debemos calcular la derivada de dicha función f(x) (ya sea siguiendo las reglas de derivación o la definición a partir del límite), y resolver la ecuación: f’(x)=0

Los resultados obtenidos representan los puntos críticos de la función f(x). En dos dimensiones, existen tres tipos de puntos críticos en una función:

  • Máximos: Son puntos en los que la función alcanza un valor máximo en un intervalo específico. Para identificarlos, se debe analizar la concavidad de la función cerca del punto crítico. Si la derivada segunda, es decir, la función derivada dos veces respecto a x, es negativa en dicho punto, tendremos un máximo local. 

Mínimos: Son puntos en los que la función alcanza un valor mínimo en un intervalo específico. Para identificarlos, al igual que antes, se debe analizar la concavidad de la función cerca del punto crítico. Si la derivada segunda es positiva, tendremos un mínimo local.

Puntos de Inflexión: Los puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia su concavidad, esto es, la función pasa de tener una concavidad hacia arriba (convexa) a una concavidad hacia abajo (cóncava), o viceversa. 

En otras palabras, si tenemos una función f(x) y su derivada segunda f''(x), un punto de inflexión se encuentra en x = a si f''(a) = 0 y al estudiar f’(x) por la izquierda y por la derecha de a, en un intervalo pequeño, se observa un cambio de signo.

¿Cuáles son las propiedades de las funciones derivables?

Las funciones derivables tienen varias propiedades interesantes que reflejan su suavidad y capacidad para describir cambios instantáneos en su comportamiento:

Si una función f(x) tiene derivada positiva en un punto “a”, la función es estrictamente creciente en ese punto.

Si una función f(x) tiene derivada negativa en un punto “a”, la función es estrictamente decreciente en ese punto.

Regla de la cadena: La composición de dos funciones derivables también es derivable.

Derivada de la suma/resta: La derivada de la suma (o resta) de dos funciones derivables es la suma (o resta) de las derivadas de las funciones individuales.

Derivada del producto: La derivada del producto de dos funciones es más compleja y se rige por la regla del producto, que se expresa como: f’(x)*g’(x)=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)

Derivada del cociente: La derivada del cociente de dos funciones se rige por la regla del cociente, que establece: f’(x)/g’(x)=(f’(x)*g(x)-f(x)*g’(x))/g(x)^2

Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el abierto (a, b) con derivada cero en todos los puntos de [a, b], entonces la función es constante, y viceversa.

Si dos funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo cerrado [a, b] y tienen la misma derivada en todos los puntos del intervalo abierto (a, b), las funciones f(x) y g(x) se diferencian en una constante. Este resultado es fundamental en el cálculo integral, ya que establece que dos funciones que tienen la misma derivada en un intervalo abierto difieren solo por una constante en ese intervalo cerrado. Esto permite relacionar la integral indefinida de una función con la integral definida en un intervalo cerrado.

¿Para qué sirve conocer la derivabilidad de una función?

Conocer la derivabilidad de una función es fundamental en el análisis y estudio de funciones matemáticas, ya que proporciona información valiosa sobre su comportamiento y propiedades en diferentes puntos y rangos de su dominio: 

Identificación de máximos y mínimos: La derivabilidad permite identificar los puntos críticos de una función, donde su derivada se anula. Estos puntos a menudo corresponden a máximos o mínimos locales, lo que es crucial en la optimización y resolución de problemas de maximización o minimización.

Estudio de tendencias y comportamiento de la función: La derivada proporciona información sobre la pendiente de la función en diferentes puntos, lo que ayuda a entender su forma general, las regiones donde crece o decrece, y si su tasa de cambio es constante o variable.

Velocidad y aceleración: En el ámbito de la física, la derivada describe la velocidad y aceleración de objetos en función del tiempo. Comprender estas tasas de cambio es esencial para comprender el movimiento y el comportamiento físico.

Teoremas y propiedades: En el análisis matemático, existen teoremas y propiedades que se basan en la derivabilidad de una función, como pueden ser el teorema de Rolle, el del valor medio o el de Cauchy. Estos teoremas y propiedades proporcionan herramientas poderosas para resolver problemas y demostrar resultados importantes.

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