Movimiento de planetas en el sistema solar

¿Qué son las leyes de Kepler?

Las leyes de Kepler son tres principios empíricos que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol y son consideradas como uno de los pilares fundamentales de la astronomía moderna:

Primera Ley de Kepler o Ley de las órbitas: Cada planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita elíptica, con el Sol en uno de los focos de la elipse.

Segunda Ley de Kepler o Ley de las áreas: La línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto significa que un planeta se mueve más rápidamente cuando está más cerca del Sol y más lentamente cuando está más lejos.

Tercera Ley de Kepler o Ley de los periodos: El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta y el Sol. Es decir, cuanto más lejos está un planeta del Sol, más tiempo tarda en completar una vuelta alrededor de él.

Las leyes de Kepler son muy importantes porque han sido verificadas por observaciones precisas de los planetas y otros objetos en el sistema solar. Esto ha demostrado la validez de estas leyes y ha permitido su aplicación en una amplia gama de aplicaciones astronómicas.

¿Quién descubrió las leyes de Kepler?

Las leyes de Kepler fueron descubiertas por el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler en el siglo XVII, del que reciben su nombre. Kepler nació en Alemania, en 1571, y es considerado como uno de los astrónomos más importantes de la historia por diversos descubrimientos, entre los que destacan las leyes de las que aquí se habla. Más específicamente, Kepler utilizó las observaciones de Tycho Brahe para desarrollarlas y las publicó en dos libros: Astronomia Nova (1609), en el que presentó las dos primeras leyes, y Harmonices Mundi (1619), en el que presentó la tercera. Las leyes de Kepler fueron un avance fundamental en la astronomía y sentaron las bases para el desarrollo de la mecánica celeste y la física moderna.

¿Cómo se utiliza la primera ley de Kepler?

Para aplicar la ley de las órbitas, es necesario los parámetros que describen la elipse: el semieje mayor (a) y el semieje menor (b), siendo su ecuación: (x² / a²) + (y² / b²) = 1

Dos parámetros muy útiles que están directamente relacionados con los dos anteriores son la excentricidad (ε) y las distancias al afelio (rmax) y al perihelio (rmin). El afelio es el punto más alejado de la órbita y el perihelio el punto más próximo. Las relaciones son: ε = (1 – b² / a²)^(1/2)

2a = rmax + rmin 

La posición del planeta en su órbita en cualquier momento se puede describir mediante dos coordenadas: la distancia al Sol (r) y el ángulo polar (θ) medido desde el foco del Sol. Estas son las coordenadas polares. Una vez que las conocemos podemos convertirlas a coordenadas cartesianas (x, y) usando las siguientes fórmulas:

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

Un ejemplo de aplicación de la primera ley de Kepler es calcular la distancia de un planeta al Sol en un momento dado, sabiendo el ángulo que forma con el Sol dicho planeta y los parámetros básicos de su órbita. Supongamos que se quiere calcular la posición de Marte para un día cuyo ángulo con el Sol es de θ = 45º, sabiendo que la excentricidad de la órbita Marte es 0,303 y el afelio está a 3,24 · 10⁸ km, mientras que el perihelio está a 1,32 · 10⁸ km. 

El semieje mayor será entonces: a = (rmax + rmin) / 2 = 2,28 · 10⁸ km

El semieje menor se obtiene entonces a partir de la excentricidad:  b = a · (1 – ε²)^(1/2) = 2,17 · 10⁸ km

Ahora, mediante la ecuación de la elipse para coordenadas polares se obtiene: (r² · cos²(θ) / a²) + (r² · sin²(θ) / b²) = 1

Despejando la distancia r de la ecuación anterior y sustituyendo se deduce que la distancia en ese momento es: r = a · b / (b² · cos²(θ) + a² · sin²(θ))^(1/2) = 2,22 · 10⁸ km.

¿Cómo se utiliza la segunda ley de Kepler?

Para aplicar la ley de las áreas se debe desarrollar su expresión matemáticamente. Sabiendo el área barrida por el vector posición del planeta, por unidad de tiempo, es constante, se puede definir esta magnitud como la velocidad areolar (vA) y asumir que:  vA = dA / dt = constante

De esta forma, empleando el producto vectorial se puede llegar a que se cumple la relación para dos puntos 1 y 2: r1 · v1 · sin(θ1) = r2 · v2 · sin(θ2)

Donde r1 y r2 son las distancias al planeta, v1 y v2 son los módulos de las velocidades del planeta y θ1 y θ2 son los ángulos que forman los vectores de posición con las velocidades.

Un ejemplo muy útil es comparar la relación entre el afelio y el perihelio, pues para ellos se cumple que θ1 = θ2 = 90º. Por ende: rA · vA = rP · vP

Sabiendo que el perihelio de la órbita de la Tierra se produce a 1,47 · 10^8 km y las velocidades máximas y mínimas de la Tierra son 30,75 km/s y 28,76 km/s, respectivamente, se puede emplear la ley de las áreas para determinar la distancia más grande que alcanzan la Tierra y el Sol, es decir, la distancia en el afelio.

Primero, es necesario darse cuenta de que la velocidad máxima de cualquier órbita se obtendrá en el perihelio, por ser la distancia mínima, y que la velocidad menor se dará en el afelio, por ser la distancia máxima. Así: rA = rP · vP / vA = 1,57 · 10⁸ km

¿Cómo se utiliza la tercera ley de Kepler?

La ley de los periodos se aplica conociendo los periodos (T) y las distancias medias (d) de distintos planetas al Sol, o, más generalmente, a la estrella alrededor de la que orbitan. La relación que estable es:  T² / d³ = constante

De esta forma, sabiendo que el periodo orbital de la Tierra es de 365 días, que el de Marte es de 687 días y que la distancia media de la Tierra al Sol es de 1,497 · 10⁸ km, la distancia media de Marte al Sol será de: dM = (TM / TT)^(2/3) · dT = 2,282 · 10⁸ km

Otra forma directa de aplicar esta tercera ley de Kepler es relacionarla con la ley de la gravitación universal de Newton, obteniendo la siguiente fórmula:  d³ / T² = (G · (M + m) / 4π²)

Donde G es la constante gravitacional universal (6,6743 × 10^-11 m / kg · s²), M es la masa del Sol, m es la masa del planeta y d es la distancia media del planeta al Sol. 

Esta fórmula puede ser usada para deducir, por ejemplo, la masa del Sol, pues conocemos la masa de la Tierra (mT = 5,97 · 10^(24) kg): MS = 4π² · d³ / (G · T²) – mT = 1,99 · 10^(30) kg

Asimismo, si se considera que la masa del planeta es despreciable con respecto a la del Sol, como ocurre para el caso de la Tierra, se puede obtener también así la distancia media de los planetas al Sol.

Por ejemplo, aplicando la ley de los periodos de Kepler para calcular la distancia media de Marte al Sol, utilizando la masa del Sol antes obtenida se recupera el resultado previo de la distancia media: a = (T² · GM / 4π²)^(1/3) = 2,28 × 10⁸ km

¿Para qué sirven las leyes de Kepler?

Las leyes de Kepler son fundamentales en la comprensión y predicción del movimiento planetario y sus principales aplicaciones son:

Predicción de posiciones planetarias: empleando la ley de las órbitas se puede determinar con cierta exactitud la posición de distintos planetas del sistema solar.  Cálculo de a masa de los planetas: la ley de los periodos establece una relación matemática entre el período orbital y la distancia media del planeta al Sol, luego si se miden se puede calcular la masa del planeta. Estudio de la estructura del sistema solar: las leyes de Kepler permiten a los astrónomos determinar la distancia media de cada planeta al Sol y la posición de ellos, lo que es fundamental para comprender la estructura y la organización del sistema solar.

Diseño de satélites artificiales: el cálculo de las órbitas necesarias para mantener un satélite en una posición específica en relación con la Tierra se puede realizar mediante la ley de las órbitas. Descubrimiento de planetas extrasolares: al medir la velocidad radial de una estrella y la duración de su recorrido en el cielo, se puede determinar, mediante las leyes de Kepler, la distancia a los planetas que orbitan alrededor de ella, su período orbital y su tamaño.Diseño de misiones espaciales: al comprender el movimiento planetario y las órbitas de los cuerpos en el Sistema Solar, se pueden diseñar trayectorias y maniobras que permitan alcanzar y estudiar distintos objetos celestes.

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